Python數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)模擬退火算法旅行商問題示例解析
1、旅行商問題(Travelling salesman problem, TSP)
旅行商問題是經(jīng)典的組合優(yōu)化問題，要求找到遍歷所有城市且每個城市只訪問一次的最短旅行路線，即對給定的正權(quán)完全圖求其總權(quán)重最小的Hamilton回路：設(shè)有 n個城市和距離矩陣 D=[dij]，其中dij表示城市i到城市j的距離（i,j = 1,2 … n），則問題是要找出遍訪每個城市恰好一次的一條回路并使其路徑長度為最短。旅行商問題屬于NP完全問題，其全局優(yōu)化解的計算量以問題規(guī)模的階乘關(guān)系增長。旅行商問題不僅作為一類典型的組合優(yōu)化問題經(jīng)常被用作算法研究和比較的案例，許多實(shí)際應(yīng)用問題如路徑規(guī)劃、交通物流、網(wǎng)絡(luò)管理也可轉(zhuǎn)化為旅行商問題。
目前，旅行商問題的研究主要集中于探索和發(fā)展各種高效近似最優(yōu)解的優(yōu)化方法，包括基于問題特征信息（如城市位置、距離、角度等）構(gòu)造的各種啟發(fā)式搜索算法，以及通過模擬或解釋自然規(guī)律而發(fā)展的模擬退火算法、遺傳算法、蟻群算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等智能優(yōu)化算法或?qū)⒍呦嘟Y(jié)合的混合算法。
2、模擬退火算法求解旅行商問題
模擬退火算法要從當(dāng)前解的鄰域中產(chǎn)生新的候選解，解的表達(dá)形式和鄰域結(jié)構(gòu)對算法收斂非常重要。組合優(yōu)化問題不同于函數(shù)優(yōu)化，其自變量不是連續(xù)變化的，目標(biāo)函數(shù)不僅依賴于自變量的數(shù)值，而且與變量的排列次序有關(guān)。極端地，旅行商問題的路徑長度僅取決于排列次序，因此常用城市編號的序列來表示解。
新解的產(chǎn)生機(jī)制是在當(dāng)前解序列的基礎(chǔ)上進(jìn)行變換操作，隨機(jī)改變序列中某些點(diǎn)的排列次序，常見的基本變換操作有交換算子(Swap Operator)、反序算子（Inversion Operator）、移位算子(Move Operator)等。交換算子將當(dāng)前路徑 S_now 中的第 i 個城市 Ci 與第 j 個城市 Cj 的位置交換；反序算子也稱2-opt，將當(dāng)前路徑 S_now 中從第 i 個城市 Ci 到第 j 個城市 Cj 之間的城市排列順序反向翻轉(zhuǎn)；移位算子相當(dāng)于 Or-opt 操作t，將當(dāng)前路徑 S_now 中的第 i 個城市 Ci 移動到第 j 個城市 Cj 之后的位置。
3、 程序說明
下段給出了模擬退火算法求解旅行商問題的 Python程序。對于程序中的一些細(xì)節(jié)處理，說明如下：
數(shù)據(jù)的獲取。為了避免讓讀者下載數(shù)據(jù)文件，程序中采用直接賦值方式讀取旅行城市位置的坐標(biāo)。實(shí)際上，通常是使用數(shù)據(jù)文件給出城市位置的參數(shù)，程序中已經(jīng)給出了讀取 TSPLib（旅行商問題國際標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集）的子程序和調(diào)用方法。
城市間距的計算。按照 TSPLib 的處理規(guī)范，一是城市間距按歐式距離計算，不要說地球是圓的要算球面間距了；二是對計算的城市間距離取整（四舍五入），而不是用實(shí)數(shù)表示城市間距離，這會導(dǎo)致一些優(yōu)化結(jié)果的差異。
新路徑的產(chǎn)生。為便于理解，本程序只給出了交換算子(Swap Operator)的子程序。交換操作非常容易理解，但實(shí)際上優(yōu)化效率和效果并不好，反序操作的性能顯著優(yōu)于交換算子。
4、模擬退火算法求解旅行商問題 Python 程序
# 模擬退火算法求解旅行商問題 Python程序
# Program: SimulatedAnnealing_v6.py
# Purpose: Simulated annealing algorithm for traveling salesman problem
# v1.0: = 關(guān)注 Youcans，分享原創(chuàng)系列 https://blog.csdn.net/youcans =
#模擬退火求解旅行商問題（TSP）基本算法
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
# Crated：2021-05-01
# -*- coding: utf-8 -*-
import math # 導(dǎo)入模塊 math
import random # 導(dǎo)入模塊 random
import pandas as pd # 導(dǎo)入模塊 pandas 并簡寫成 pd
import numpy as np# 導(dǎo)入模塊 numpy 并簡寫成 np YouCans
import matplotlib.pyplot as plt # 導(dǎo)入模塊 matplotlib.pyplot 并簡寫成 plt
np.set_printoptions(precision=4)
pd.set_option('display.max_rows', 20)
pd.set_option('expand_frame_repr', False)
pd.options.display.float_format = '{:,.2f}'.format
# 子程序：初始化模擬退火算法的控制參數(shù)
def initParameter():
# custom function initParameter():
# Initial parameter for simulated annealing algorithm
tInitial = 100.0 # 設(shè)定初始退火溫度(initial temperature)
tFinal = 1# 設(shè)定終止退火溫度(stop temperature)
nMarkov = 1000 # Markov鏈長度，也即內(nèi)循環(huán)運(yùn)行次數(shù)
alfa = 0.98 # 設(shè)定降溫參數(shù)，T(k)=alfa*T(k-1)
return tInitial,tFinal,alfa,nMarkov
# 子程序：讀取TSPLib數(shù)據(jù)
def read_TSPLib(fileName):
# custom function read_TSPLib(fileName)
# Read datafile *.dat from TSPlib
# return coordinates of each city by YouCans, XUPT
res = []
with open(fileName, 'r') as fid:
for item in fid:
if len(item.strip())!=0:
res.append(item.split())
loadData = np.array(res).astype('int')# 數(shù)據(jù)格式：i Xi Yi
coordinates = loadData[:,1::]
return coordinates
# 子程序：計算各城市間的距離，得到距離矩陣
def getDistMat(nCities, coordinates):
# custom function getDistMat(nCities, coordinates):
# computer distance between each 2 Cities
distMat = np.zeros((nCities,nCities)) # 初始化距離矩陣
for i in range(nCities):
for j in range(i,nCities):
# np.linalg.norm 求向量的范數(shù)（默認(rèn)求 二范數(shù)），得到 i、j 間的距離
distMat[i][j] = distMat[j][i] = round(np.linalg.norm(coordinates[i]-coordinates[j]))
return distMat # 城市間距離取整（四舍五入）
# 子程序：計算 TSP 路徑長度
def calTourMileage(tourGiven, nCities, distMat):
# custom function caltourMileage(nCities, tour, distMat):
# to compute mileage of the given tour
mileageTour = distMat[tourGiven[nCities-1], tourGiven[0]]# dist((n-1),0)
for i in range(nCities-1):# dist(0,1),...dist((n-2)(n-1))
mileageTour += distMat[tourGiven[i], tourGiven[i+1]]
return round(mileageTour)# 路徑總長度取整（四舍五入）
# 子程序：繪制 TSP 路徑圖
def plot_tour(tour, value, coordinates):
# custom function plot_tour(tour, nCities, coordinates)
num = len(tour)
x0, y0 = coordinates[tour[num - 1]]
x1, y1 = coordinates[tour[0]]
plt.scatter(int(x0), int(y0), s=15, c='r')# 繪制城市坐標(biāo)點(diǎn) C(n-1)
plt.plot([x1, x0], [y1, y0], c='b') # 繪制旅行路徑 C(n-1)~C(0)
for i in range(num - 1):
x0, y0 = coordinates[tour[i]]
x1, y1 = coordinates[tour[i + 1]]
plt.scatter(int(x0), int(y0), s=15, c='r') # 繪制城市坐標(biāo)點(diǎn) C(i)
plt.plot([x1, x0], [y1, y0], c='b')# 繪制旅行路徑 C(i)~C(i+1)
plt.xlabel("Total mileage of the tour:{:.1f}".format(value))
plt.title("Optimization tour of TSP{:d}".format(num)) # 設(shè)置圖形標(biāo)題
plt.show()
# 子程序：交換操作算子
def mutateSwap(tourGiven, nCities):
# custom function mutateSwap(nCities, tourNow)
# produce a mutation tour with 2-Swap operator
# swap the position of two Cities in the given tour
# 在 [0,n) 產(chǎn)生 2個不相等的隨機(jī)整數(shù) i,j
i = np.random.randint(nCities) # 產(chǎn)生第一個 [0,n) 區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)整數(shù)
while True:
j = np.random.randint(nCities)# 產(chǎn)生一個 [0,n) 區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)整數(shù)
if i!=j: break # 保證 i, j 不相等
tourSwap = tourGiven.copy() # 將給定路徑復(fù)制給新路徑 tourSwap
tourSwap[i],tourSwap[j] = tourGiven[j],tourGiven[i] # 交換 城市 i 和 j 的位置————簡潔的實(shí)現(xiàn)方法
return tourSwap
def main():
# 主程序 = 關(guān)注 Youcans，分享原創(chuàng)系列 https://blog.csdn.net/youcans =
# # 讀取旅行城市位置的坐標(biāo)
coordinates = np.array([[565.0, 575.0], [25.0, 185.0], [345.0, 750.0], [945.0, 685.0], [845.0, 655.0],
[880.0, 660.0], [25.0, 230.0], [525.0, 1000.0], [580.0, 1175.0], [650.0, 1130.0],
[1605.0, 620.0], [1220.0, 580.0], [1465.0, 200.0], [1530.0, 5.0], [845.0, 680.0],
[725.0, 370.0], [145.0, 665.0], [415.0, 635.0], [510.0, 875.0], [560.0, 365.0],
[300.0, 465.0], [520.0, 585.0], [480.0, 415.0], [835.0, 625.0], [975.0, 580.0],
[1215.0, 245.0], [1320.0, 315.0], [1250.0, 400.0], [660.0, 180.0], [410.0, 250.0],
[420.0, 555.0], [575.0, 665.0], [1150.0, 1160.0], [700.0, 580.0], [685.0, 595.0],
[685.0, 610.0], [770.0, 610.0], [795.0, 645.0], [720.0, 635.0], [760.0, 650.0],
[475.0, 960.0], [95.0, 260.0], [875.0, 920.0], [700.0, 500.0], [555.0, 815.0],
[830.0, 485.0], [1170.0, 65.0], [830.0, 610.0], [605.0, 625.0], [595.0, 360.0],
[1340.0, 725.0], [1740.0, 245.0]])
# fileName = "../data/eil76.dat" # 數(shù)據(jù)文件的地址和文件名
# coordinates = read_TSPLib(fileName) # 調(diào)用子程序，讀取城市坐標(biāo)數(shù)據(jù)文件
# 模擬退火算法參數(shù)設(shè)置
tInitial,tFinal,alfa,nMarkov = initParameter()# 調(diào)用子程序，獲得設(shè)置參數(shù)
nCities = coordinates.shape[0] # 根據(jù)輸入的城市坐標(biāo) 獲得城市數(shù)量 nCities
distMat = getDistMat(nCities, coordinates) # 調(diào)用子程序，計算城市間距離矩陣
nMarkov = nCities# Markov鏈 的初值設(shè)置
tNow = tInitial # 初始化 當(dāng)前溫度(current temperature)
# 初始化準(zhǔn)備
tourNow= np.arange(nCities)# 產(chǎn)生初始路徑，返回一個初值為0、步長為1、長度為n 的排列
valueNow = calTourMileage(tourNow,nCities,distMat) # 計算當(dāng)前路徑的總長度 valueNow
tourBest = tourNow.copy() # 初始化最優(yōu)路徑，復(fù)制 tourNow
valueBest = valueNow # 初始化最優(yōu)路徑的總長度，復(fù)制 valueNow
recordBest = []# 初始化 最優(yōu)路徑記錄表
recordNow = []# 初始化 最優(yōu)路徑記錄表
# 開始模擬退火優(yōu)化過程
iter = 0# 外循環(huán)迭代次數(shù)計數(shù)器
while tNow >= tFinal: # 外循環(huán)，直到當(dāng)前溫度達(dá)到終止溫度時結(jié)束
# 在當(dāng)前溫度下，進(jìn)行充分次數(shù)(nMarkov)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移以達(dá)到熱平衡
for k in range(nMarkov): # 內(nèi)循環(huán)，循環(huán)次數(shù)為Markov鏈長度
# 產(chǎn)生新解：
tourNew = mutateSwap(tourNow, nCities)# 通過 交換操作 產(chǎn)生新路徑
valueNew = calTourMileage(tourNew,nCities,distMat) # 計算當(dāng)前路徑的總長度
deltaE = valueNew - valueNow
# 接受判別：按照 Metropolis 準(zhǔn)則決定是否接受新解
if deltaE < 0: # 更優(yōu)解：如果新解的目標(biāo)函數(shù)好于當(dāng)前解，則接受新解
accept = True
if valueNew < valueBest:# 如果新解的目標(biāo)函數(shù)好于最優(yōu)解，則將新解保存為最優(yōu)解
tourBest[:] = tourNew[:]
valueBest = valueNew
else: # 容忍解：如果新解的目標(biāo)函數(shù)比當(dāng)前解差，則以一定概率接受新解
pAccept = math.exp(-deltaE/tNow) # 計算容忍解的狀態(tài)遷移概率
if pAccept > random.random():
accept = True
else:
accept = False
# 保存新解
if accept == True: # 如果接受新解，則將新解保存為當(dāng)前解
tourNow[:] = tourNew[:]
valueNow = valueNew
# 平移當(dāng)前路徑，以解決變換操作避開 0,（n-1）所帶來的問題，并未實(shí)質(zhì)性改變當(dāng)前路徑。
tourNow = np.roll(tourNow,2) # 循環(huán)移位函數(shù)，沿指定軸滾動數(shù)組元素
# 完成當(dāng)前溫度的搜索，保存數(shù)據(jù)和輸出
recordBest.append(valueBest) # 將本次溫度下的最優(yōu)路徑長度追加到 最優(yōu)路徑記錄表
recordNow.append(valueNow)# 將當(dāng)前路徑長度追加到 當(dāng)前路徑記錄表
print('i:{}, t(i):{:.2f}, valueNow:{:.1f}, valueBest:{:.1f}'.format(iter,tNow,valueNow,valueBest))
# 緩慢降溫至新的溫度，
iter = iter + 1
tNow = tNow * alfa # 指數(shù)降溫曲線：T(k)=alfa*T(k-1)
# 結(jié)束模擬退火過程
# 圖形化顯示優(yōu)化結(jié)果
figure1 = plt.figure() # 創(chuàng)建圖形窗口 1
plot_tour(tourBest, valueBest, coordinates)
figure2 = plt.figure() # 創(chuàng)建圖形窗口 2
plt.title("Optimization result of TSP{:d}".format(nCities)) # 設(shè)置圖形標(biāo)題
plt.plot(np.array(recordBest),'b-', label='Best') # 繪制 recordBest曲線
plt.plot(np.array(recordNow),'g-', label='Now') # 繪制 recordNow曲線
plt.xlabel("iter") # 設(shè)置 x軸標(biāo)注
plt.ylabel("mileage of tour")# 設(shè)置 y軸標(biāo)注
plt.legend() # 顯示圖例
plt.show()
print("Tour verification successful!")
print("Best tour: \n", tourBest)
print("Best value: {:.1f}".format(valueBest))
exit()
if __name__ == '__main__':
main()
5、運(yùn)行結(jié)果
程序的運(yùn)行結(jié)果只供參考，顯然這并不是最優(yōu)結(jié)果。
Tour verification successful! Best tour: [18 7 40 2 16 17 31 38 39 36 24 27 26 11 50 3 5 4 23 47 37 14 42 9 8 32 10 51 13 12 25 46 28 29 1 6 41 20 30 21 0 48 35 34 33 43 45 15 49 19 22 44] Best value: 9544.0
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