Python數(shù)學(xué)建模StatsModels統(tǒng)計(jì)回歸可視化示例詳解
1、如何認(rèn)識(shí)可視化？
需要指出的是，雖然不同繪圖工具包的功能、效果會(huì)有差異，但在常用功能上相差并不是很大。與選擇哪種繪圖工具包相比，更重要的是針對(duì)不同的問(wèn)題，需要思考選擇什么方式、何種圖形去展示分析過(guò)程和結(jié)果。換句話(huà)說(shuō)，可視化只是手段和形式，手段要為目的服務(wù)，形式要為內(nèi)容服務(wù)，這個(gè)關(guān)系一定不能顛倒了。
因此，可視化是伴隨著分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程而進(jìn)行思考、設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)的，而且還會(huì)影響問(wèn)題的分析和解決過(guò)程：
- 可視化工具是數(shù)據(jù)探索的常用手段
回歸分析是基于數(shù)據(jù)的建模，在導(dǎo)入數(shù)據(jù)后首先要進(jìn)行數(shù)據(jù)探索，對(duì)給出的或收集的數(shù)據(jù)有個(gè)大概的了解，主要包括數(shù)據(jù)質(zhì)量探索和數(shù)據(jù)特征分析。數(shù)據(jù)準(zhǔn)備中的異常值分析，往往就需要用到箱形圖（Boxplot）。對(duì)于數(shù)據(jù)特征的分析，經(jīng)常使用頻率分布圖或頻率分布直方圖（Hist），餅圖（Pie）。
- 分析問(wèn)題需要可視化工具的幫助
對(duì)于問(wèn)題中變量之間的關(guān)系，有些可以通過(guò)定性分析來(lái)確定或猜想，需要進(jìn)一步的驗(yàn)證，有些復(fù)雜關(guān)系難以由分析得到，則要通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步的相關(guān)分析來(lái)尋找線(xiàn)索。在分析問(wèn)題、嘗試求解的過(guò)程中，雖然可以得到各種統(tǒng)計(jì)量、特征值，但可視化圖形能提供更快捷、直觀、豐富的信息，對(duì)于發(fā)現(xiàn)規(guī)律、產(chǎn)生靈感很有幫助。
- 解題過(guò)程需要可視化工具的支持
在解決問(wèn)題的過(guò)程中，也經(jīng)常會(huì)希望盡快獲得初步的結(jié)果、總體的評(píng)價(jià)，以便確認(rèn)解決問(wèn)題的思路和方法是否正確。這些情況下，我們更關(guān)心的往往是繪圖的便捷性，圖形的表現(xiàn)效果反而是次要的。
- 可視化是結(jié)果發(fā)布的重要內(nèi)容
問(wèn)題解決之后需要對(duì)結(jié)果進(jìn)行呈現(xiàn)或發(fā)表，這時(shí)則需要結(jié)合表達(dá)的需要，特別是表達(dá)的邏輯框架，設(shè)計(jì)可視化的方案，選擇適當(dāng)?shù)膱D形種類(lèi)和形式，準(zhǔn)備圖形數(shù)據(jù)。在此基礎(chǔ)上，才談得上選擇何種繪圖工具包，如何呈現(xiàn)更好的表現(xiàn)效果。
2、StatsModels 繪圖工具包 （Graphics）
Statsmodels 本身支持繪圖功能（Graphics），包括擬合圖（Fit Plots）、箱線(xiàn)圖（Box Plots）、相關(guān)圖（Correlation Plots）、函數(shù)圖（Functional Plots）、回歸圖（Regression Plots）和時(shí)間序列圖（Time Series Plots）。
Statsmodels 內(nèi)置繪圖功能 Graphics 的使用似乎并不流行，網(wǎng)絡(luò)上的介紹也不多。分析其原因，一是 Graphics 做的并不太好用，文檔和例程不友好，二是學(xué)習(xí)成本高：能用通用的可視化包實(shí)現(xiàn)的功能，何必還要花時(shí)間去學(xué)習(xí)一個(gè)專(zhuān)用的 Graphics？
下面是 Statsmodels 官方文檔的例程，最簡(jiǎn)單的單變量線(xiàn)性回歸問(wèn)題，繪制樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖和擬合直線(xiàn)圖。Graphics 提供了將擬合與繪圖合二為一的函數(shù) qqline()，但是為了繪制出樣本數(shù)據(jù)則要調(diào)用 Matplotlib 的 matplotlib.pyplot.scatter()，所以…
import statsmodels.api as sm import matplotlib.pyplot as plt from statsmodels.graphics.gofplots import qqline foodexp = sm.datasets.engel.load(as_pandas=False) x = foodexp.exog y = foodexp.endog ax = plt.subplot(111) plt.scatter(x, y) qqline(ax, "r", x, y) plt.show() # = 關(guān)注 Youcans，分享原創(chuàng)系列 https://blog.csdn.net/youcans =
下圖看起來(lái)有點(diǎn)象 Seaborn中的 relplot，但把官方文檔研究了半天也沒(méi)搞明白，只好直接分析例程和數(shù)據(jù)，最后的結(jié)論是：基本沒(méi)啥用。
這大概就是更多用戶(hù)直接選擇 Python 的可視化工具包進(jìn)行繪圖的原因吧。最常用的當(dāng)屬 Matplotlib 無(wú)疑，而在統(tǒng)計(jì)回歸分析中 Seaborn 繪圖工具包則更好用更炫酷。
3、Matplotlib 繪圖工具包
Matplotlib 繪圖包就不用介紹了。Matplotlib 用于 Statsmodels 可視化，最大的優(yōu)勢(shì)在于Matplotlib 誰(shuí)都會(huì)用，實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)回歸的基本圖形的也很簡(jiǎn)單。如果需要復(fù)雜的圖形，炫酷的效果，雖然 Matplotlib 原理上也能實(shí)現(xiàn)，但往往需要比較繁瑣的數(shù)據(jù)準(zhǔn)備，并不常用的函數(shù)和參數(shù)設(shè)置。既然學(xué)習(xí)成本高，出錯(cuò)概率大，就沒(méi)必要非 Matplotlib 不可了。
Matplotlib 在統(tǒng)計(jì)回歸問(wèn)題中經(jīng)常用到的是折線(xiàn)圖、散點(diǎn)圖、箱線(xiàn)圖和直方圖。這也是 Matplotlib 最常用的繪圖形式，本系列文中也有相關(guān)例程，本文不再具體介紹相關(guān)函數(shù)的用法。
例如，在本系列《Python學(xué)習(xí)筆記-StatsModels 統(tǒng)計(jì)回歸（2）線(xiàn)性回歸》的例程和附圖，不僅顯示了原始檢測(cè)數(shù)據(jù)、理論模型數(shù)據(jù)、擬合模型數(shù)據(jù)，而且給出了置信區(qū)間的上下限，看起來(lái)還是比較“高級(jí)”的。但是，如果把置信區(qū)間的邊界線(xiàn)隱藏起來(lái)，圖形馬上就顯得不那么“高級(jí)”，比較“平常”了——這就是選擇什么方式、何種圖形進(jìn)行展示的區(qū)別。
由此所反映的問(wèn)題，還是表達(dá)的邏輯和數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備：要表達(dá)什么內(nèi)容，為什么要表達(dá)這個(gè)內(nèi)容，有沒(méi)有相應(yīng)的數(shù)據(jù)？問(wèn)題的關(guān)鍵并不是什么工具包或什么函數(shù)，更不是什么顏色什么線(xiàn)性，而是有沒(méi)有置信區(qū)間上下限的數(shù)據(jù)。
如果需要復(fù)雜的圖形，炫酷的效果，雖然 Matplotlib 原理上也能實(shí)現(xiàn)，但往往需要比較繁瑣的數(shù)據(jù)準(zhǔn)備，使用并不常用的函數(shù)和參數(shù)設(shè)置。學(xué)習(xí)成本高，出錯(cuò)概率大，就沒(méi)必要非 Matplotlib 不可了。
4、Seaborn 繪圖工具包
Seaborn 是在 Matplotlib 上構(gòu)建的，支持 Scipy 和 Statamodels 的統(tǒng)計(jì)模型可視化，可以實(shí)現(xiàn)：
- 賞心悅目的內(nèi)置主題及顏色主題
- 展示和比較 一維變量、二維變量 各變量的分布情況
- 可視化 線(xiàn)性回歸模型中的獨(dú)立變量和關(guān)聯(lián)變量
- 可視化 矩陣數(shù)據(jù)，通過(guò)聚類(lèi)算法探究矩陣間的結(jié)構(gòu)
- 可視化 時(shí)間序列，展示不確定性
- 復(fù)雜的可視化，如在分割區(qū)域制圖
Seaborn 繪圖工具包以數(shù)據(jù)可視化為中心來(lái)挖掘與理解數(shù)據(jù)，本身就帶有一定的統(tǒng)計(jì)回歸功能，而且簡(jiǎn)單好用，特別適合進(jìn)行定性分析、初步評(píng)價(jià)。
下圖給出了幾種常用的 Seaborn 圖形，分別是帶擬合線(xiàn)的直方圖（distplot）、箱線(xiàn)圖（boxplot）、散點(diǎn)圖（scatterplot）和回歸圖（regplot），后文給出了對(duì)應(yīng)的程序。
實(shí)際上，這些圖形用 StatsModels Graphics、Matplotlib 也可以繪制，估計(jì)任何繪圖包都可以實(shí)現(xiàn)。那么，為什么還要推薦 Seaborn 工具包，把這些圖歸入 Seaborn 的實(shí)例呢？我們來(lái)看看實(shí)現(xiàn)的例程就明白了：簡(jiǎn)單，便捷，舒服。不需要數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和變換處理，直接調(diào)用變量數(shù)據(jù)，自帶回歸功能；不需要復(fù)雜的參數(shù)設(shè)置，直接給出舒服的圖形，自帶圖形風(fēng)格設(shè)計(jì)。
fig1, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 8)) # 創(chuàng)建一個(gè) 2行 2列的畫(huà)布 sns.distplot(df['price'], bins=10, ax=axes[0, 0]) # axes[0,1] 左上圖 sns.boxplot(df['price'], df['sales'], data=df, ax=axes[0, 1]) # axes[0,1] 右上圖 sns.scatterplot(x=df['advertise'], y=df['sales'], ax=axes[1, 0]) # axes[1,0] 左下圖 sns.regplot(x=df['difference'], y=df['sales'], ax=axes[1, 1]) # axes[1,1] 右下圖 plt.show()
5、多元回歸案例分析（Statsmodels）
5.1 問(wèn)題描述
數(shù)據(jù)文件中收集了 30個(gè)月本公司牙膏銷(xiāo)售量、價(jià)格、廣告費(fèi)用及同期的市場(chǎng)均價(jià)。
?。?）分析牙膏銷(xiāo)售量與價(jià)格、廣告投入之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型；
?。?）估計(jì)所建立數(shù)學(xué)模型的參數(shù)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析；
（3）利用擬合模型，預(yù)測(cè)在不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下的牙膏銷(xiāo)售量。
本問(wèn)題及數(shù)據(jù)來(lái)自：姜啟源、謝金星，數(shù)學(xué)模型（第 3版），高等教育出版社。
5.2 問(wèn)題分析
本案例在Python數(shù)學(xué)建模StatsModels統(tǒng)計(jì)回歸模型數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備中就曾出現(xiàn)，文中還提到該文的例程并不是最佳的求解方法和結(jié)果。
這是因?yàn)樵撐睦淌侵苯訉⑺薪o出的特征變量（銷(xiāo)售價(jià)格、市場(chǎng)均價(jià)、廣告費(fèi)、價(jià)格差）都作為自變量，直接進(jìn)行線(xiàn)性回歸。謝金星老師說(shuō)，這不科學(xué)?？茖W(xué)的方法是先分析這些特征變量對(duì)目標(biāo)變量（銷(xiāo)量）的影響，然后選擇能影響目標(biāo)的特征變量，或者對(duì)特征變量進(jìn)行適當(dāng)變換（如：平方、對(duì)數(shù)）后，再進(jìn)行線(xiàn)性回歸。以下參考視頻教程中的解題思路進(jìn)行分析。
觀察數(shù)據(jù)分布特征
案例問(wèn)題的數(shù)據(jù)量很小，數(shù)據(jù)完整規(guī)范，實(shí)際上并不需要進(jìn)行數(shù)據(jù)探索和數(shù)據(jù)清洗，不過(guò)可以看一下數(shù)據(jù)的分布特性。例程和結(jié)果如下，我是沒(méi)看出什么名堂來(lái)，與正態(tài)分布的差距都不小。
# 數(shù)據(jù)探索：分布特征 fig1, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 8)) # 創(chuàng)建一個(gè) 2行 2列的畫(huà)布 sns.distplot(dfData['price'], bins=10, ax=axes[0,0]) # axes[0,1] 左上圖 sns.distplot(dfData['average'], bins=10, ax=axes[0,1]) # axes[0,1] 右上圖 sns.distplot(dfData['advertise'], bins=10, ax=axes[1,0]) # axes[1,0] 左下圖 sns.distplot(dfData['difference'], bins=10, ax=axes[1,1]) # axes[1,1] 右下圖 plt.show()
觀察數(shù)據(jù)間的相關(guān)性
既然將所有特征變量都作為自變量直接進(jìn)行線(xiàn)性回歸不科學(xué)，就要先對(duì)每個(gè)自變量與因變量的關(guān)系進(jìn)行考察。
# 數(shù)據(jù)探索：相關(guān)性 fig2, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 8)) # 創(chuàng)建一個(gè) 2行 2列的畫(huà)布 sns.regplot(x=dfData['price'], y=dfData['sales'], ax=axes[0,0]) sns.regplot(x=dfData['average'], y=dfData['sales'], ax=axes[0,1]) sns.regplot(x=dfData['advertise'], y=dfData['sales'], ax=axes[1,0]) sns.regplot(x=dfData['difference'], y=dfData['sales'], ax=axes[1,1]) plt.show() # = 關(guān)注 Youcans，分享原創(chuàng)系列 https://blog.csdn.net/youcans =
單變量線(xiàn)性回歸圖還是很有價(jià)值的。首先上面兩圖（sales-price，sales-average）的數(shù)據(jù)點(diǎn)分散，與回歸直線(xiàn)差的太遠(yuǎn)，說(shuō)明與銷(xiāo)量的相關(guān)性小——謝金星老師講課中也是這樣分析的。其次下面兩圖（sales-advertise，sales-difference）的線(xiàn)性度較高，至少比上圖好多了，回歸直線(xiàn)和置信區(qū)間也反映出線(xiàn)性關(guān)系。因此，可以將廣告費(fèi)（advertise）、價(jià)格差（difference）作為自變量建模進(jìn)行線(xiàn)性回歸。
進(jìn)一步地，有人觀察散點(diǎn)圖后認(rèn)為銷(xiāo)量與廣告費(fèi)的關(guān)系（sales-advertise）更接近二次曲線(xiàn)，對(duì)此也可以通過(guò)回歸圖對(duì) sales 與 advertise 進(jìn)行高階多項(xiàng)式回歸擬合，結(jié)果如下圖。
建模與擬合
模型1：將所有特征變量都作為自變量直接進(jìn)行線(xiàn)性回歸，這就是《模型數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備》中的方案。
模型 2：選擇價(jià)格差（difference）、廣告費(fèi)（advertise）作為自變量建模進(jìn)行線(xiàn)性回歸。
模型 3：選擇價(jià)格差（difference）、廣告費(fèi)（advertise）及廣告費(fèi)的平方項(xiàng)作為作為自變量建模進(jìn)行線(xiàn)性回歸。
下段給出了使用不同模型進(jìn)行線(xiàn)性回歸的例程和運(yùn)行結(jié)果。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的分析和結(jié)果討論，謝金星老師在視頻中講的很詳細(xì)，網(wǎng)絡(luò)上也有不少相關(guān)文章。由于本文主要講可視化，對(duì)結(jié)果就不做詳細(xì)討論了。
6、Python 例程（Statsmodels）
6.1 問(wèn)題描述
數(shù)據(jù)文件中收集了 30個(gè)月本公司牙膏銷(xiāo)售量、價(jià)格、廣告費(fèi)用及同期的市場(chǎng)均價(jià)。
（1）分析牙膏銷(xiāo)售量與價(jià)格、廣告投入之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型；
?。?）估計(jì)所建立數(shù)學(xué)模型的參數(shù)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析；
（3）利用擬合模型，預(yù)測(cè)在不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下的牙膏銷(xiāo)售量。
6.2 Python 程序
# LinearRegression_v4.py
# v4.0: 分析和結(jié)果的可視化
# 日期：2021-05-08
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.sandbox.regression.predstd import wls_prediction_std
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
# 主程序 = 關(guān)注 Youcans，分享原創(chuàng)系列 https://blog.csdn.net/youcans =
def main():
# 讀取數(shù)據(jù)文件
readPath = "../data/toothpaste.csv" # 數(shù)據(jù)文件的地址和文件名
dfOpenFile = pd.read_csv(readPath, header=0, sep=",") # 間隔符為逗號(hào)，首行為標(biāo)題行
# 準(zhǔn)備建模數(shù)據(jù)：分析因變量 Y(sales) 與 自變量 x1~x4 的關(guān)系
dfData = dfOpenFile.dropna() # 刪除含有缺失值的數(shù)據(jù)
sns.set_style('dark')
# 數(shù)據(jù)探索：分布特征
fig1, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 8)) # 創(chuàng)建一個(gè) 2行 2列的畫(huà)布
sns.distplot(dfData['price'], bins=10, ax=axes[0,0]) # axes[0,1] 左上圖
sns.distplot(dfData['average'], bins=10, ax=axes[0,1]) # axes[0,1] 右上圖
sns.distplot(dfData['advertise'], bins=10, ax=axes[1,0]) # axes[1,0] 左下圖
sns.distplot(dfData['difference'], bins=10, ax=axes[1,1]) # axes[1,1] 右下圖
plt.show()
# 數(shù)據(jù)探索：相關(guān)性
fig2, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 8)) # 創(chuàng)建一個(gè) 2行 2列的畫(huà)布
sns.regplot(x=dfData['price'], y=dfData['sales'], ax=axes[0,0])
sns.regplot(x=dfData['average'], y=dfData['sales'], ax=axes[0,1])
sns.regplot(x=dfData['advertise'], y=dfData['sales'], ax=axes[1,0])
sns.regplot(x=dfData['difference'], y=dfData['sales'], ax=axes[1,1])
plt.show()
# 數(shù)據(jù)探索：考察自變量平方項(xiàng)的相關(guān)性
fig3, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4)) # 創(chuàng)建一個(gè) 2行 2列的畫(huà)布
sns.regplot(x=dfData['advertise'], y=dfData['sales'], order=2, ax=axes[0]) # order=2, 按 y=b*x**2 回歸
sns.regplot(x=dfData['difference'], y=dfData['sales'], order=2, ax=axes[1]) # YouCans, XUPT
plt.show()
# 線(xiàn)性回歸：分析因變量 Y(sales) 與 自變量 X1(Price diffrence)、X2(Advertise) 的關(guān)系
y = dfData['sales'] # 根據(jù)因變量列名 list，建立 因變量數(shù)據(jù)集
x0 = np.ones(dfData.shape[0]) # 截距列 x0=[1,...1]
x1 = dfData['difference'] # 價(jià)格差，x4 = x1 - x2
x2 = dfData['advertise'] # 廣告費(fèi)
x3 = dfData['price'] # 銷(xiāo)售價(jià)格
x4 = dfData['average'] # 市場(chǎng)均價(jià)
x5 = x2**2 # 廣告費(fèi)的二次元
x6 = x1 * x2 # 考察兩個(gè)變量的相互作用
# Model 1：Y = b0 + b1*X1 + b2*X2 + e
# # 線(xiàn)性回歸：分析因變量 Y(sales) 與 自變量 X1(Price diffrence)、X2(Advertise) 的關(guān)系
X = np.column_stack((x0,x1,x2)) # [x0,x1,x2]
Model1 = sm.OLS(y, X) # 建立 OLS 模型: Y = b0 + b1*X1 + b2*X2 + e
result1 = Model1.fit() # 返回模型擬合結(jié)果
yFit1 = result1.fittedvalues # 模型擬合的 y 值
prstd, ivLow, ivUp = wls_prediction_std(result1) # 返回標(biāo)準(zhǔn)偏差和置信區(qū)間
print(result1.summary()) # 輸出回歸分析的摘要
print("\nModel1: Y = b0 + b1*X + b2*X2")
print('Parameters: ', result1.params) # 輸出：擬合模型的系數(shù)
# # Model 2：Y = b0 + b1*X1 + b2*X2 + b3*X3 + b4*X4 + e
# 線(xiàn)性回歸：分析因變量 Y(sales) 與 自變量 X1~X4 的關(guān)系
X = np.column_stack((x0,x1,x2,x3,x4)) #[x0,x1,x2,...,x4]
Model2 = sm.OLS(y, X) # 建立 OLS 模型: Y = b0 + b1*X1 + b2*X2 + b3*X3 + e
result2 = Model2.fit() # 返回模型擬合結(jié)果
yFit2 = result2.fittedvalues # 模型擬合的 y 值
prstd, ivLow, ivUp = wls_prediction_std(result2) # 返回標(biāo)準(zhǔn)偏差和置信區(qū)間
print(result2.summary()) # 輸出回歸分析的摘要
print("\nModel2: Y = b0 + b1*X + ... + b4*X4")
print('Parameters: ', result2.params) # 輸出：擬合模型的系數(shù)
# # Model 3：Y = b0 + b1*X1 + b2*X2 + b3*X2**2 + e
# # 線(xiàn)性回歸：分析因變量 Y(sales) 與 自變量 X1、X2 及 X2平方（X5）的關(guān)系
X = np.column_stack((x0,x1,x2,x5)) # [x0,x1,x2,x2**2]
Model3 = sm.OLS(y, X) # 建立 OLS 模型: Y = b0 + b1*X1 + b2*X2 + b3*X2**2 + e
result3 = Model3.fit() # 返回模型擬合結(jié)果
yFit3 = result3.fittedvalues # 模型擬合的 y 值
prstd, ivLow, ivUp = wls_prediction_std(result3) # 返回標(biāo)準(zhǔn)偏差和置信區(qū)間
print(result3.summary()) # 輸出回歸分析的摘要
print("\nModel3: Y = b0 + b1*X1 + b2*X2 + b3*X2**2")
print('Parameters: ', result3.params) # 輸出：擬合模型的系數(shù)
# 擬合結(jié)果繪圖
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,6)) # YouCans, XUPT
ax.plot(range(len(y)), y, 'b-.', label='Sample') # 樣本數(shù)據(jù)
ax.plot(range(len(y)), yFit3, 'r-', label='Fitting') # 擬合數(shù)據(jù)
# ax.plot(range(len(y)), yFit2, 'm--', label='fitting') # 擬合數(shù)據(jù)
ax.plot(range(len(y)), ivUp, '--',color='pink',label="ConfR") # 95% 置信區(qū)間 上限
ax.plot(range(len(y)), ivLow, '--',color='pink') # 95% 置信區(qū)間 下限
ax.legend(loc='best') # 顯示圖例
plt.title('Regression analysis with sales of toothpaste')
plt.xlabel('period')
plt.ylabel('sales')
plt.show()
return
if __name__ == '__main__':
main()
6.3 程序運(yùn)行結(jié)果：
OLS Regression Results ============================================================================== Dep. Variable:salesR-squared: 0.886 Model:OLSAdj. R-squared:0.878 Method: Least SquaresF-statistic:105.0 Date: Sat, 08 May 2021Prob (F-statistic): 1.84e-13 Time:22:18:04Log-Likelihood: 2.0347 No. Observations:30AIC: 1.931 Df Residuals: 27BIC: 6.134 Df Model:2 Covariance Type:nonrobust ============================================================================== coef std err tP>|t|[0.0250.975] ------------------------------------------------------------------------------ const 4.40750.7226.1020.000 2.925 5.890 x1 1.58830.2995.3040.000 0.974 2.203 x2 0.56350.1194.7330.000 0.319 0.808 ============================================================================== Omnibus:1.445Durbin-Watson: 1.627 Prob(Omnibus):0.486Jarque-Bera (JB): 0.487 Skew:0.195Prob(JB):0.784 Kurtosis: 3.486Cond. No. 115. ============================================================================== Model1: Y = b0 + b1*X + b2*X2 Parameters: const 4.407493 x1 1.588286 x2 0.563482 OLS Regression Results ============================================================================== Dep. Variable:salesR-squared: 0.895 Model:OLSAdj. R-squared:0.883 Method: Least SquaresF-statistic:74.20 Date: Sat, 08 May 2021Prob (F-statistic): 7.12e-13 Time:22:18:04Log-Likelihood: 3.3225 No. Observations:30AIC: 1.355 Df Residuals: 26BIC: 6.960 Df Model:3 Covariance Type:nonrobust ============================================================================== coef std err tP>|t|[0.0250.975] ------------------------------------------------------------------------------ const 8.03682.4803.2410.003 2.94013.134 x1 1.38320.2884.7980.000 0.791 1.976 x2 0.49270.1253.9380.001 0.236 0.750 x3-1.11840.398 -2.8110.009-1.936-0.300 x4 0.26480.1991.3320.195-0.144 0.674 ============================================================================== Omnibus:0.141Durbin-Watson: 1.762 Prob(Omnibus):0.932Jarque-Bera (JB): 0.030 Skew:0.052Prob(JB):0.985 Kurtosis: 2.885Cond. No.2.68e+16 ============================================================================== Model2: Y = b0 + b1*X + ... + b4*X4 Parameters: const 8.036813 x1 1.383207 x2 0.492728 x3-1.118418 x4 0.264789 OLS Regression Results ============================================================================== Dep. Variable:salesR-squared: 0.905 Model:OLSAdj. R-squared:0.894 Method: Least SquaresF-statistic:82.94 Date: Sat, 08 May 2021Prob (F-statistic): 1.94e-13 Time:22:18:04Log-Likelihood: 4.8260 No. Observations:30AIC:-1.652 Df Residuals: 26BIC: 3.953 Df Model:3 Covariance Type:nonrobust ============================================================================== coef std err tP>|t|[0.0250.975] ------------------------------------------------------------------------------ const17.32445.6413.0710.005 5.72828.921 x1 1.30700.3044.3050.000 0.683 1.931 x2-3.69561.850 -1.9970.056-7.499 0.108 x3 0.34860.1512.3060.029 0.038 0.659 ============================================================================== Omnibus:0.631Durbin-Watson: 1.619 Prob(Omnibus):0.729Jarque-Bera (JB): 0.716 Skew:0.203Prob(JB):0.699 Kurtosis: 2.362Cond. No.6.33e+03 ============================================================================== Model3: Y = b0 + b1*X1 + b2*X2 + b3*X2**2 Parameters: const 17.324369 x1 1.306989 x2 -3.695587 x3 0.348612
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