折射與反射

光線與光學(xué)元件相互作用，無非只有兩件事，反射和透射。而就目前看來，我們所常用的光學(xué)元件，也無非有兩種表面，即平面和球面，二維化之后就簡(jiǎn)化成了射線與線段，射線與劣弧的關(guān)系。

平面反射

無論從哪個(gè)角度來看，平面的反射折射都要比球面更簡(jiǎn)單，而反射問題要比折射問題更簡(jiǎn)單，所以，我們首先處理平面的反射問題。

反射定律即入射角等于反射角，心念及此，最為循規(guī)蹈矩的思路必然是先找到入射光線和平面的夾角，然后用這個(gè)夾角和平面(在二維空間中是一條直線)在空間中的斜率，由這個(gè)斜率與入射角得到出射光的斜率，然后就可以得到出射光的方程。

這個(gè)方法的問題是需要反復(fù)使用三角函數(shù)和反三角函數(shù)，而三角函數(shù)和反三角函數(shù)并非嚴(yán)格意義上的互為相反，所以在傳參的過程中，可能會(huì)遇到一些麻煩。

相對(duì)來說，比較不容易出錯(cuò)的方法是，尋找入射點(diǎn)關(guān)于法線的對(duì)稱點(diǎn)，那么這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)與交點(diǎn)的連線，便是出射光的方程。

平面折射

折射與反射的思路如出一轍，最原始的想法仍舊是獲取入射角，然后根據(jù)折射定律求出射角，然后再按照出射角解出出射光的表達(dá)式。這個(gè)思路的難點(diǎn)仍舊在三角函數(shù)與反函數(shù)的轉(zhuǎn)化上。

至此，我們發(fā)現(xiàn)折射與反射在表達(dá)形式上是相通的，如果令入射點(diǎn)關(guān)于法線做垂線，垂足為C，約定這條垂線與出射光線的交點(diǎn)為出射點(diǎn)B，那么出射點(diǎn)到垂足的距離BC與入射點(diǎn)到垂足的距離AC之間是滿足比例關(guān)系的。當(dāng)入射光線和反射光線的折射率相等時(shí)，這個(gè)比例為1，否則比例為 λ \lambda λ。

我們還能發(fā)現(xiàn)，這個(gè) λ \lambda λ不一定有解，因?yàn)榉帜钢杏幸粋€(gè)根號(hào)表達(dá)式，當(dāng)內(nèi)部的值小于0時(shí)，自然無解。這與我們的物理直覺是符合的，即并不是所有的入射光線都有折射光線，當(dāng)折射光線消失的時(shí)候，就發(fā)生了全反射。

所以，當(dāng)務(wù)之急是根據(jù)入射點(diǎn)找垂足，易得

那么對(duì)于我們所熟知的折射問題，即可令入射點(diǎn)關(guān)于反射平面做一次對(duì)稱，再關(guān)于發(fā)現(xiàn)做一次定比延長(zhǎng)線的對(duì)稱，即可得到出射點(diǎn)。

python實(shí)現(xiàn)

至此，我們已經(jīng)完全建立了一套反射與折射的關(guān)系，代碼如下：

#得到點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),k為比例系數(shù)
def getSymDot(point,line,k=1):
 return tuple((np.array(getPedal(point,line))*(1+k)-point)/k)
#得到直線的垂足
def getPedal(point,line):
 a,b,c=line
 x0,y0 = point
 y1 = (a**2*y0-a*b*x0-b*c)/(a**2+b**2)
 x1 = (b**2*x0-a*b*y0-a*c)/(a**2+b**2)
 return (x1,y1)

函數(shù)getSymDot即通過輸入點(diǎn)和線來求解對(duì)稱點(diǎn)，其思路是把點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱的問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于垂足對(duì)稱的問題。所以引用了getPedal函數(shù)，這個(gè)函數(shù)通過輸入一點(diǎn)和線來返回過點(diǎn)做線的垂線所得到的垂足。

所有代碼都是對(duì)上述數(shù)學(xué)公式的簡(jiǎn)單復(fù)現(xiàn)。

def cataDioLine(abc=[1,-1,1],line=[2,-1,1],
 sPoint=[],cross=[],n1=1,n2=1.5):
 normal = [-line[1],line[0],line[1]*cross[0]-line[0]*cross[1]]#法線
 flecDot = getSymDot(sPoint,normal)
 flec=getABC([cross,flecDot])
 dPara = np.sqrt(line[0]**2+line[1]**2)
 dNormal = np.abs(np.array(normal).dot(list(sPoint)+[1]))/dPara#到法線距離
 dPane = np.abs(np.array(line).dot(list(sPoint)+[1]))/dPara#到反射面距離
 if dNormal == 0:
  return flec,abc
 delt = (n2/n1)**2*(1+(dPane/dNormal)**2)-1#判定全反射
 if delt>0:
  k =dPane/dNormal/np.sqrt(delt)
  fracDot = getSymDot(sPoint,normal,k)
  fracDot = getSymDot(fracDot,line)
  frac = getABC([cross,fracDot])
  return flec,frac
 return flec,[0,0,0]

函數(shù)cataDioLine則是反射折射的實(shí)現(xiàn)函數(shù)。注意，在此引入的getABC并不是此前定義的通過點(diǎn)和角度求表達(dá)式的函數(shù)，而是通過兩點(diǎn)轉(zhuǎn)[a,b,c]的函數(shù)。

那么我們是否可以寫一個(gè)同名函數(shù)來實(shí)現(xiàn)不同的功能呢？很遺憾的是，Python不支持函數(shù)的重載，所以只能將同名函數(shù)封裝在一起：

def getABC(*par):
 if len(par)==1:  #此時(shí)傳入的參數(shù)為點(diǎn)對(duì)dots=[(x0,y0),(x1,y1)]
  dots = par[0]
  abc = [dots[1][1]-dots[0][1],
 dots[0][0]-dots[1][0], 
 -np.linalg.det(dots)]
  return np.array(abc)/(np.sqrt(abc[0]**2+abc[1]**2))
 elif len(par)==2:#此時(shí)傳入的參數(shù)為點(diǎn)和角度(x0,y0),theta
  theta,sPoint = par
  a,b = [np.sin(theta),-np.cos(theta)]
  c = -(a*sPoint[0]+b*sPoint[1])
  return [a,b,c]

看到輸入?yún)?shù)(*par)，我們很多人可能會(huì)產(chǎn)生某些不是很美妙的聯(lián)想，但不要興奮，這只是python的一種傳參方式。(*args)表示將傳入的參數(shù)組成一個(gè)列表args；(**kargs)表示將傳入的參數(shù)組成一個(gè)字典kargs。

弧面問題

光線在弧面上的反射問題，是典型的那種看似復(fù)雜實(shí)則簡(jiǎn)單的紙老虎問題，簡(jiǎn)單到我們只要找到法線就能輕松地轉(zhuǎn)化為平面問題。

所以，問題被簡(jiǎn)單地轉(zhuǎn)化為求解圓的切線問題——這個(gè)切線即反射平面。由于數(shù)學(xué)過程過于簡(jiǎn)單，就不寫公式了，讀者可以試著看代碼反推公式。

#獲取過交點(diǎn)的圓弧的切線
def getTangent(corss=[0,1],circle=[0,0,1]):
 a = corss[0]-circle[0]
 b = corss[1]-circle[1]
 c = -a*corss[0]-b*corss[1]
 return [a,b,c]

至此，我們就可以得到一個(gè)完整的折射反射問題的求解方案：

#光在直線或弧線表面的反折射
def cataDio(abc=[1,-1,1],dots=[(0,2),(2,2)],
sPoint=[-2,-1],n1=1,n2=1.5):
 cross = getCross(abc,dots,sPoint)  #獲取交點(diǎn)
 if cross == []:
  return [],[],[]
 if len(dots)==3:
  line = getTangent(cross,arc2cir(dots))  #圓上切線
 elif len(dots)==2:
  line = getABC(dots)
 flec,frac = cataDioLine(abc,line,sPoint,cross,n1,n2)
 return cross,flec,frac

當(dāng)然，這里的getCross也需要重新寫成不僅適合直線，而且適合弧線的形式：

def getCross(abc=[1,-1,0],dots=[[0,-1],[0,1],[0.5,0]],point=[]):
 if len(dots)==3:
  return getCrossArc(abc,dots,point)
 if len(dots)==2:
  return getCrossDots(abc,dots,point)

這時(shí)我們發(fā)現(xiàn)用兩個(gè)點(diǎn)表示線段，三個(gè)點(diǎn)表示弧線還是比較舒服的一種做法，至少二者在表達(dá)形式上的統(tǒng)一似乎能為我們帶來某種內(nèi)心的愉悅。

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