一、激活函數

1.Sigmoid函數

函數圖像以及表達式如下：

通過該函數，可以將輸入的負無窮到正無窮的輸入壓縮到0-1之間。在x=0的時候，輸出0.5

通過PyTorch實現方式如下：

2.Tanh函數

在RNN中比較常用，由sigmoid函數變化而來。表達式以及圖像如下圖所示：

該函數的取值是-1到1，導數是：1-Tanh**2。

通過PyTorch的實現方式如下：

3.ReLU函數

該函數可以將輸入小于0的值截斷為0，大于0的值保持不變。因此在小于0的地方導數為0，大于0的地方導數為1，因此求導計算非常方便。

通過PyTorch的實現方式如下：

二、損失函數及求導

通常，我們使用mean squared error也就是均方誤差來作為損失函數。

1.autograd.grad

torch.autograd.grad(loss, [w1,w2,...])

輸入的第一個是損失函數，第二個是參數的列表，即使只有一個，也需要加上中括號。

我們可以直接通過mse_loss的方法，來直接創(chuàng)建損失函數。

在torch.autograd.grad中輸入損失函數mse，以及希望求導的對象[w]，可以直接求導。

注意：我們需要在創(chuàng)建w的時候，需要添加requires_grad=True，我們才能對它求導。

也可以通過w.requires_grad_()的方法，為其添加可以求導的屬性。

2.loss.backward()

該方法是直接在損失函數上面調用的

這個方法不會返回梯度信息，而是將梯度信息保存到了參數中，直接用w.grad就可以查看。

3.softmax及其求導

該函數將差距較大的輸入，轉換成處于0-1之間的概率，并且所有概率和為1。

對softmax函數的求導：

設輸入是a，通過了softmax輸出的是p

注意：當i=j時，偏導是正的，i != j時，偏導是負的。

通過PyTorch實現方式如下：

三、鏈式法則

1.單層感知機梯度

單層感知機其實就是只有一個節(jié)點，數據*權重，輸入這個節(jié)點，經過sigmoid函數轉換，得到輸出值。根據鏈式法則可以求得梯度。

通過PyTorch可以輕松實現函數轉換以及求導。

2. 多輸出感知機梯度

輸出值變多了，因此節(jié)點變多了。但求導方式其實是一樣的。

通過PyTorch實現求導的方式如下：

3. 中間有隱藏層的求導

中間加了隱藏層，只是調節(jié)了輸出節(jié)點的輸入內容。原本是數據直接輸給輸出節(jié)點，現在是中間層的輸出作為輸入，給了輸出節(jié)點。使用PyTorch實現方式如下：

4.多層感知機的反向傳播

依舊是通過鏈式法則，每一個結點的輸出sigmoid(x)都是下一個結點的輸入，因此我們通過前向傳播得到每一個結點的sigmoid函數，以及最終的輸出結果，算出損失函數后，即可通過后向傳播依次推算出每一個結點每一個參數的梯度。

下面的DELTA(k)只是將一部分內容統(tǒng)一寫作一個字母來表示，具體推導不再詳述。

四、優(yōu)化舉例

通過以下函數進行優(yōu)化。

優(yōu)化流程：初始化參數→前向傳播算出預測值→得到損失函數→​​​​​​​反向傳播得到梯度→​​​​​​​對參數更新→​​​​​​​再次前向傳播→......

在此案例中，優(yōu)化流程有一些不同：

優(yōu)化之前先選擇優(yōu)化器，并直接把參數，以及梯度輸入進去。

①pred = f(x)根據函數給出預測值，用以后面計算梯度。

②optimizer.zero_grad()梯度歸零。因為反向傳播之后，梯度會自動帶到參數上去（上面有展示，可以調用查看）。

③pred.backward()用預測值計算梯度。

④pred.step()更新參數。

以上步驟循環(huán)即可。

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